NILAI MUTLAK

 Pendahuluan

Nilai mutlak adalah salah satu konsep matematika yang penting dalam analisis dan berbagai bidang ilmu lainnya. Nilai mutlak mengukur jarak antara suatu bilangan dengan nol pada garis bilangan. Nilai ini selalu positif, sehingga menghilangkan orientasi positif atau negatif dari suatu bilangan. Dalam makalah ini, kita akan menjelaskan pengertian, sifat, dan penggunaan nilai mutlak.

A, DEFINISI NILAI MUTLAK

1. Pengertian Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari suatu bilangan adalah angka non-negatif yang menyatakan jarak antara bilangan tersebut dengan nol pada garis bilangan. Notasi untuk nilai mutlak adalah |x|, di mana x adalah bilangan yang ingin dihitung nilai mutlaknya. Secara matematis, nilai mutlak dapat didefinisikan sebagai berikut:

Jika x ≥ 0, maka |x| = x

Jika x < 0, maka |x| = -x

2. Sifat Nilai Mutlak

Beberapa sifat penting dari nilai mutlak antara lain:

• |x| ≥ 0 untuk setiap bilangan real x.
• Jika x ≥ 0, maka |x| = x.
• Jika x < 0, maka |x| = -x.
• |x * y| = |x| * |y| untuk setiap bilangan real x dan y.
• |x + y| ≤ |x| + |y| untuk setiap bilangan real x dan y (ketimpangan segitiga).

3. Penggunaan Nilai Mutlak

a. Menghilangkan Orientasi

Nilai mutlak sering digunakan untuk menghilangkan orientasi positif atau negatif dari suatu bilangan. Misalnya, dalam permasalahan perjalanan, jarak yang ditempuh oleh seseorang selalu bernilai positif. Namun, jika ingin mengetahui total perpindahan dari posisi awal ke posisi akhir, kita dapat menggunakan nilai mutlak.

b. Fungsi Pemetaan

Nilai mutlak juga digunakan dalam pembuatan fungsi pemetaan atau fungsi modul. Fungsi ini memberikan nilai mutlak dari suatu ekspresi atau persamaan. Contohnya, fungsi modul digunakan dalam optimasi, pemodelan masalah logistik, dan banyak aplikasi lainnya.

c. Penyelesaian Persamaan dan Ketidaksamaan

Nilai mutlak sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan ketidaksamaan. Misalnya, untuk menyelesaikan persamaan |x - 5| = 3, kita perlu mempertimbangkan dua kasus: x - 5 = 3 dan x - 5 = -3.

d. Statistik dan Data Analisis

Dalam analisis data, nilai mutlak dapat digunakan untuk mengukur deviasi atau jarak data dari titik pusat. Misalnya, rata-rata mutlak digunakan dalam median absolut deviation (MAD) untuk mengukur seberapa jauh data berbeda dari median.

Referensi:

1. Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2002). Calculus: Early Transcendentals. Wiley.
2. Strang, G. (2010). Calculus. OpenCourseWare: Massachusetts Institute of Technology.
3. Stewart, J. (2007). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.

B. PERSAMAAN NILAI MUTLAK

1. Persamaan Nilai Mutlak

Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang mengandung salah satu atau beberapa nilai mutlak di dalamnya. Secara umum, persamaan nilai mutlak dapat dituliskan sebagai berikut:

|f(x)| = g(x)

di mana f(x) adalah suatu fungsi dan g(x) adalah suatu fungsi atau ekspresi lain. Tujuan dari menyelesaikan persamaan nilai mutlak adalah mencari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.

2. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal 1:

Tentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak berikut:

|2x - 1| = 5

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu mempertimbangkan dua kasus, yaitu ketika nilai di dalam nilai mutlak positif dan negatif.

Kasus 1: (2x - 1) = 5

Maka, kita punya:

2x - 1 = 5

2x = 5 + 1

2x = 6

x = 6/2

x = 3

Kasus 2: -(2x - 1) = 5

Maka, kita punya:

-2x + 1 = 5

-2x = 5 - 1

-2x = 4

x = 4/(-2)

x = -2

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah x = 3 dan x = -2.

Contoh Soal 2:

Tentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak berikut:

|3x + 2| = |x - 1|

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu mempertimbangkan dua kasus, yaitu ketika nilai di dalam nilai mutlak positif dan negatif.

Kasus 1: (3x + 2) = (x - 1)

Maka, kita punya:

3x + 2 = x - 1

3x - x = -1 - 2

2x = -3

x = -3/2

Kasus 2: -(3x + 2) = (x - 1)

Maka, kita punya:

-3x - 2 = x - 1

-3x - x = -1 + 2

-4x = 1

x = 1/(-4)

x = -1/4

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah x = -3/2 dan x = -1/4.

Referensi:

1. Barnett, R., Ziegler, M., Byleen, K., & Sobecki, D. (2014). College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences, and Social Sciences (13th ed.). Pearson.
2. Larson, R., & Edwards, B. (2017). Calculus (11th ed.). Cengage Learning.
3. Soo T. Tan. (2013). Finite Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences (11th ed.). Cengage Learning.

C. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang mengandung satu atau beberapa nilai mutlak di dalamnya. Pertidaksamaan nilai mutlak sering muncul dalam berbagai konteks matematika dan ilmu lainnya. Secara umum, pertidaksamaan nilai mutlak dapat dituliskan sebagai berikut:

|f(x)| < g(x)

atau

|f(x)| ≤ g(x)

atau

|f(x)| > g(x)

atau

|f(x)| ≥ g(x)

di mana f(x) adalah suatu fungsi dan g(x) adalah suatu fungsi atau ekspresi lain. Pertidaksamaan nilai mutlak memperlihatkan relasi antara nilai mutlak dari f(x) dan g(x) berdasarkan tanda (<, ≤, >, atau ≥).

Contoh Pertidaksamaan Nilai Mutlak dan Penyelesaian:

Contoh 1:

Tentukan interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut:

|2x - 5| < 3

Pembahasan:

Kita akan menyelesaikan pertidaksamaan ini dengan mempertimbangkan dua kasus, yaitu ketika nilai di dalam nilai mutlak positif dan negatif.

Kasus 1: (2x - 5) < 3

Maka, kita punya:

2x - 5 < 3

2x < 3 + 5

2x < 8

x < 8/2

x < 4

Kasus 2: -(2x - 5) < 3

Maka, kita punya:

-2x + 5 < 3

-2x < 3 - 5

-2x < -2

x > -2/(-2)

x > 1

Jadi, interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah -2 < x < 1.

Contoh 2:

Tentukan interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut:

|3x + 2| ≥ 5

Pembahasan:

Kita akan menyelesaikan pertidaksamaan ini dengan mempertimbangkan dua kasus, yaitu ketika nilai di dalam nilai mutlak positif dan negatif.

Kasus 1: (3x + 2) ≥ 5

Maka, kita punya:

3x + 2 ≥ 5

3x ≥ 5 - 2

3x ≥ 3

x ≥ 3/3

x ≥ 1

Kasus 2: -(3x + 2) ≥ 5

Maka, kita punya:

-3x - 2 ≥ 5

-3x ≥ 5 + 2

-3x ≥ 7

x ≤ 7/(-3)

x ≤ -7/3

Jadi, interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah x ≤ -7/3 atau x ≥ 1.

Penting untuk diingat bahwa penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak dapat berbeda-beda tergantung pada bentuk pertidaksamaan dan tanda yang diberikan. Solusi akhir harus selalu dituliskan dalam bentuk interval atau notasi lain yang sesuai dengan konteks masalah.

Referensi:

1. Barnett, R., Ziegler, M., Byleen, K., & Sobecki, D. (2014). College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences, and Social Sciences (13th ed.). Pearson.
2. Larson, R., & Edwards, B. (2017). Calculus (11th ed.). Cengage Learning.
3. Soo T. Tan. (2013). Finite Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences (11th ed.). Cengage Learning.