G. HARTANTO: K-13 | MATEMATIKA WAJIB | KELAS X | BAB 1 NILAI MUTLAK

Minggu, 23 Juli 2023

K-13 | MATEMATIKA WAJIB | KELAS X | BAB 1 NILAI MUTLAK | MATERI

A. DEFINISI NILAI MUTLAK

Problem Solving

Sebuah tiang listrik memiliki 2 jalur kabel yang dipasang pada arah berlawanan. Kedua jalur berjarak sama terhadap tiang listrik tersebut, yaitu 120 cm. Misalkan tiang listrik adalah titik nol, nyatakanlah posisi kedua jalur tersebut sebagai bilangan bulat!
Pada suatu perlombaan lempar lembing, peserta diminta untuk melempar lembing mengenai garis sasaran yang terletak pada jarak 30 meter dari garis lempar. Lima peserta berhasil melempar lembing berturut-turut sejauh 29 meter, 28 meter, 32 meter, 31 meter, dan 33 meter. Hitunglah jarak lembing setiap peserta dengan garis sasaran!

Nilai mutlak dilambangkan dengan "|...|". Sebagai contoh notasi |5| menyatakan jarak 5 satuan dari titik 0 pada garis bilangan, sehingga |5|=|-5|=5.

Nilai mutlak selalu bernilai positif atau nol atau dapat ditulis $\left|p\right|\geqslant 0$ untuk setiap bilangan real $p$ .

Sifat-sifat nilai mutlak adalah:

$\left|-x\right|=\left|x\right|$ untuk setiap $x$ bilangan real.
$\left|x-y\right|=\left|y-x\right|$ untuk setiap $x$ dan $y$ bialngan real.
$\left|x\right|=\sqrt{x^{2}}$
$\left|x\right|^{2}=x^{2}$
$\left|x\times y\right|=\left|x\right|\times\left|y\right|$ untuk setiap $x$ dan $y$ bilangan real.
$\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}$ untuk setiap $x$ dan $y$ bilangan real dengan $y\neq 0$ .
$\left|x-y\right|^{2}=\left(x-y\right)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}$
$\left|x+y\right|^{2}=\left(x+y\right)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

Nilai mutlak $\left|x\right|$ didefinisikan sebagai berikut:

Dengan meihat definisi tersebut, maka:

CONTOH:

Tentukan definisi dari:

$\left|x+2\right|$ Pembahasan
$\left|x-3\right|$ Pembahasan
$\left|2x+1\right|$ Pembahasan
$\left|-x+1\right|$ Pembahasan

B. PERSAMAAN NILAI MUTLAK

Definisi

Persamaan nilai mutlak adalah persamaan dalam bentuk $\left|f\left(x\right)\right|=a$ dengan $f\left(x\right)$ adalah fungsi dari $x$ dan $a$ adalah konstanta.

$\left|f\left(x\right)\right|=p$ maka $f\left(x\right)=p$ atau $f\left(x\right)=-p$
$\left|f\left(x\right)\right|=\left|g\left(x\right)\right|$ maka $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ atau $f\left(x\right)=-g\left(x\right)$
$\left|f\left(x\right)\right|=\left|g\left(x\right)\right|$ maka $\left|f\left(x\right)\right|^{2}=\left|g\left(x\right)\right|^{2}$ $\Leftrightarrow$ $\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=0$
$a\left|f\left(x\right)\right|+b\left|g\left(x\right)\right|+c=0$ solusinya kita analisis setiap interval sesuai dengan definisi $\left|f\left(x\right)\right|$ dan $\left|g\left(x\right)\right|$ .
$a\left|f\left(x\right)\right|^{2}+b\left|f\left(x\right)\right|+c=0$ solusinya kita misalkan $\left|f\left(x\right)\right|=y$ sehingga diperoleh $ay^{2}+by+c=0$ akan didapat $y_{1}$ dan $y_{2}$ sebagai akar-akar persamaannya, maka solusinya adalah $\left|f\left(x\right)\right|=y_{1}$ atau $\left|f\left(x\right)\right|=y_{2}$ .

CONTOH:

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left|x-7\right|=2$ adalah .....
Himpunan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $-5\left|3x+7\right|+4=14$ adalah .....
Jumlah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left|2x-1\right|=\left|x+2\right|$ adalah .....
Tentukan himpunan penyelesaian dari $\left|x+1\right|+\left|x+2\right|=5$ !
Tentukan himpunan penyelesaian dari $\left|x+2\right|^{2}-\left|x+2\right|-2=0$ !
Selisih sebuah bilangan dengan 100 adalah 10. Tentukan bilangan tersebut!

JAWABAN

$x=5$ atau $x=9$
$\oslash$
$2\frac{2}{3}$
HP nya adalah $\left\{-3,2\right\}$
HP nya adalah $\left\{-4,0\right\}$
90 atau 110

C. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Problem Solving

Seorang pemilik gedung teater mengatakan bahwa agar mendapatkan keuntungan dan memenuhi peraturan yang berlaku, banyaknya tiket online yang harus terjual selisihnya dengan tiket yang dijual di loket tidak boleh lebih dari 75 tiket. Jika tiket yang dijual di loker sebanyak 225 tiket, berapa banyaknya tiket online yang dapat dijual oleh pemilik gedung untuk mendapatkan keuntungan dan memenuhi peraturan yang berlaku?
Massa sepotong logam kecil setelah diukur adalah 20,24 gram. Jika kesalahan pengukuran paing banyak sebesar 0,005 gram, berapakah rentang nilai massa logam yang dapat dipercaya?

Diskusi

Diskusikanlah dengan teman kelompokmu:

Dari contoh "masalah Penjualan Tiket" di atas, terdapat suatu bentuk pertidaksamaan. Pertidaksamaan apakah itu? Bagaimana ciri-cirinya?
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, langkah-langkah apa saja yang harus dilakukan?
Adakah cara lain untuk menyelesaikan masalah di atas? Jika ada, coba uraikan caranya!

Presentasikan jawaban dari perwakilan masing-masing kelompok di depan kelas!

Definisi

Tugas

Coba temukan masalah di sekitarmu yang dapat dimodelkan ke dalam bentuk pertidaksamaan nilai mutlak. Tuliskan pertidaksamaan dalam bentuk umum kemudian dipresentasikan di depan kelas!

No

Pertidaksamaan

Solusi

Ket

1

$\left|f\left(x\right)\right|<p$

$-p<f\left(x\right)<p$

2

$\left|f\left(x\right)\right|\leq p$

$-p\leqslant f\left(x\right)\leq p$

3

$\left|f\left(x\right)\right|>p$

$f\left(x\right)<-p$ atau $f\left(x\right)>p$

4

$\left|f\left(x\right)\right|\geqslant p$

$f\left(x\right)\leqslant-p$ atau $f\left(x\right)\geq p$

5

$\left|f\left(x\right)\right|<\left|g\left(x\right)\right|$

$\left(f\left(x\right)\right)^{2}<\left(g\left(x\right)\right)^{2}$ $\Leftrightarrow\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)<0$

6

$\left|f\left(x\right)\right|\leq\left|g\left(x\right)\right|$

$\left(f\left(x\right)\right)^{2}\leq\left(g\left(x\right)\right)^{2}$ $\Leftrightarrow\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\leq 0$

7

$\left|f\left(x\right)\right|>\left|g\left(x\right)\right|$

$\left|f\left(x\right)\right|^{2}>\left|g\left(x\right)\right|^{2}$ $\Leftrightarrow\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)>0$

8

$\left|f\left(x\right)\right|\geq\left|g\left(x\right)\right|$

$\left|f\left(x\right)\right|^{2}\geq\left|g\left(x\right)\right|^{2}$ $\Leftrightarrow\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\geq 0$

9

$\frac{\left|f\left(x\right)\right|}{\left|g\left(x\right)\right|}<a$

$\left|f\left(x\right)\right|<a\left|g\left(x\right)\right|$

10

$a\left|f\left(x\right)\right|^{2}+b\left|f\left(x\right)\right|+c<0$

misalkan $\left|f\left(x\right)\right|=y$ sehingga diperoleh $ay^{2}+by+c=0$ akan didapat $y_{1}$ dan $y_{2}$ ( $y_{1}<y_{2}$ ) sebagai akar-akar persamaannya, maka solusinya diperoleh dari $y_{1}<\left|f\left(x\right)\right|<y_{2}$

11

$a\left|f\left(x\right)\right|^{2}+b\left|f\left(x\right)\right|+c>0$

misalkan $\left|f\left(x\right)\right|=y$ sehingga diperoleh $ay^{2}+by+c=0$ akan didapat $y_{1}$ dan $y_{2}$ ( $y_{1}<y_{2}$ ) sebagai akar-akar persamaannya, maka solusinya diperoleh dari $\left|f\left(x\right)\right|<y_{1}$ atau $\left|f\left(x\right)\right|>y_{2}$

CONTOH

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

$\left|x-9\right|<2$
$\left|3x+5\right|>2$
$\left|2x+1\right|\leq-5$
$\left|3x+2\right|>5$
$2\left|x-1\right|<\left|x+2\right|$
$\left|3x-1\right|\geq\left|x+3\right|$
$\left|\frac{x+3}{x-4}\right|<2$
$\left|x-1\right|^{2}+2\left|x-1\right|-3>0$
$\left|x+1\right|^{2}+2\left|x+1\right|-3\leq 0$
$\left|x-2\right|^{2}>4\left|x-2\right|+12$
$\left|x-2\right|<\left|2x+1\right|$
$\left|\frac{1-2x}{x}\right|<1$
$\left|2x-1\right|^{2}-5\left|2x-1\right|-14\geq 0$

JAWABAN

$7<x<11$
$x<-\frac{7}{3}$ atau $x>-1$
$\oslash$
$x<-\frac{7}{3}$ atau $x>1$
$0<x<4$
$x\leq-\frac{1}{2}$ atau $x\geq 2$
$x<\frac{5}{3}$ atau $x>11$
$x<0$ atau $x>2$
$-4\leq x\leq 2$
$x<-4$ atau $x>8$
$x<-3$ atau $x>\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}<x<1$
$x\leq-3$ atau $x\geqslant 4$

Jika himpunan penyelesaian $\left|2x-a\right|<5$ adalah $\left\{x|-1<x<4\right\}$ . Nilai $a$ adalah ..... ( $a=3$ )

Sumber:

Cucun Cunayah, Etsa Indra Irawan. 2019. 1700 Plus Bank Soal Matematika Wajib SMA/MA-SMK/MAK. Bandung: Yrama Widya.

S. N. Sharma, Niken Widiastuti, Candra Himawan, Mirna Indrianti, Eka Suardhana Saputra. 2021. Jelajah Matematika SMA Kelas X Program Wajib. Jakarta: Yudhistira.

Minggu, 23 Juli 2023

K-13 | MATEMATIKA WAJIB | KELAS X | BAB 1 NILAI MUTLAK | MATERI

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

LABEL

Arsip Blog

No	Pertidaksamaan	Solusi	Ket
1	$\left\|f\left(x\right)\right\|<p$	$-p<f\left(x\right)<p$
2	$\left\|f\left(x\right)\right\|\leq p$	$-p\leqslant f\left(x\right)\leq p$
3	$\left\|f\left(x\right)\right\|>p$	$f\left(x\right)<-p$ atau $f\left(x\right)>p$
4	$\left\|f\left(x\right)\right\|\geqslant p$	$f\left(x\right)\leqslant-p$ atau $f\left(x\right)\geq p$
5	$\left\|f\left(x\right)\right\|<\left\|g\left(x\right)\right\|$	$\left(f\left(x\right)\right)^{2}<\left(g\left(x\right)\right)^{2}$ $\Leftrightarrow\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)<0$
6	$\left\|f\left(x\right)\right\|\leq\left\|g\left(x\right)\right\|$	$\left(f\left(x\right)\right)^{2}\leq\left(g\left(x\right)\right)^{2}$ $\Leftrightarrow\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\leq 0$
7	$\left\|f\left(x\right)\right\|>\left\|g\left(x\right)\right\|$	$\left\|f\left(x\right)\right\|^{2}>\left\|g\left(x\right)\right\|^{2}$ $\Leftrightarrow\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)>0$
8	$\left\|f\left(x\right)\right\|\geq\left\|g\left(x\right)\right\|$	$\left\|f\left(x\right)\right\|^{2}\geq\left\|g\left(x\right)\right\|^{2}$ $\Leftrightarrow\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\geq 0$
9	$\frac{\left\|f\left(x\right)\right\|}{\left\|g\left(x\right)\right\|}<a$	$\left\|f\left(x\right)\right\|<a\left\|g\left(x\right)\right\|$
10	$a\left\|f\left(x\right)\right\|^{2}+b\left\|f\left(x\right)\right\|+c<0$	misalkan $\left\|f\left(x\right)\right\|=y$ sehingga diperoleh $ay^{2}+by+c=0$ akan didapat $y_{1}$ dan $y_{2}$ ( $y_{1}<y_{2}$ ) sebagai akar-akar persamaannya, maka solusinya diperoleh dari $y_{1}<\left\|f\left(x\right)\right\|<y_{2}$
11	$a\left\|f\left(x\right)\right\|^{2}+b\left\|f\left(x\right)\right\|+c>0$	misalkan $\left\|f\left(x\right)\right\|=y$ sehingga diperoleh $ay^{2}+by+c=0$ akan didapat $y_{1}$ dan $y_{2}$ ( $y_{1}<y_{2}$ ) sebagai akar-akar persamaannya, maka solusinya diperoleh dari $\left\|f\left(x\right)\right\|<y_{1}$ atau $\left\|f\left(x\right)\right\|>y_{2}$